我好冤宋某在一食杂内被其他人奚落后心中万分恼怒，恰遇此时进屋的刘某变将气冲向刘某，先是谩骂后又用啤酒瓶打向刘某，刘某受了一点轻伤后被朋友拉开。拉开后宋并没有就此罢手而是去刘某家继续挑衅，在刘家没有找到刘的情况下继续在刘某回家的路上堵截，后与刘及朋友西某相遇。再次与刘发生撕打，在撕打的过程中西某拉仗被宋某打伤，刘某被宋某打倒后在地上捡起一根木棒，举棒向宋某打去后宋某应声倒地。后刘某急时找车将宋某与西某被送到医院治疗，医生诊断宋某为头部骨折及脑出血，西某为头部外伤，刘某在医院护理了两天两夜，并且替西某垫付了全部医药费。事情过后宋某向刘某索要一万元钱作为赔偿，刘某与宋某就赔偿金额的问题没能达成共识。一个月后刘某被公安机关以故意伤害罪刑事拘留。请问律师刘某能构成故意伤害罪吗？请问律师刘某已经拘留6天了，下一步公安机关应该怎样对刘某进行处理？
这应该算是构成犯罪了，下一步可能会移交检察院。另外，还得赔偿宋某的医疗费用，但应设法证明宋某挑衅，这样可以减轻自己的责任。应该是构成犯罪，下一步可能会移交检察院。另外，还得赔偿宋某的医疗费用，但应设法证明宋某挑衅，这样可以减轻自己的责任。请律师辩护的你具体可以与我电话联系的